零基礎機率入門：搞懂 Marginal、Joint 與 Conditional Probability 的差異

1 前言

機率 (Probability) 是機器學習的地基。不管是 Naive Bayes、語言模型算下一個 token 的分佈，還是評估模型輸出的信心水準，背後都是同一套機率語言。地基沒打好，後面看到公式只能死背。

問題是，網路上大多數的機率教學都預設你已經有一些先備知識，開場就是一串符號，初學者常常第一段就卡住。這篇文章假設你完全沒有機率背景，從最基本的「表示法」(Notation) 開始，再帶到三種最常見的機率類型：Marginal、Joint 與 Conditional，最後用乘法法則把三者串起來。

2 機率的表示法 (Notation)

機率的概念一定伴隨著某一個「事件」。這裡的事件 (Event) 沒有那麼玄，就只是在描述某一件「事情」。像是「今天的天氣是雨天」、「擲一顆骰子得到點數 3」、「從球袋中抽出一顆紅球」，這些都是事件。

我們用機率來描述某個事件發生的可能性有多大。以上面的例子來說，我們會說「『今天的天氣是雨天』的機率是 50%」、「『擲一顆骰子得到點數 3』的機率是 1/6」、「『從球袋中抽出一顆紅球』的機率是 30%」。

一個事件的結果通常不只一種，而且每一種結果都有可能發生。我們之所以需要用機率去描述，正是因為事先不知道哪一個結果會出現，這件事本身帶有隨機性。所以在數學上，用來描述事件所有可能結果的那個變數，就叫做隨機變數 (Random Variable)。

拿擲骰子當例子。骰子的結果可能是 1、2、3、4、5、6 其中一個，但擲之前沒人知道會是哪一個。在數學上，我們定義一個隨機變數 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 來表示擲骰子的所有可能結果。

同一件事，用「言語」講是這樣：

• 擲骰子的結果為 1、2、3、4、5、6 其中之一
• 擲骰子的結果為 1 的機率

用「數學」寫是這樣：

• $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• $P(X=1)$

對照之後就很清楚了：隨機變數 $X$ 負責描述一個事件的所有可能結果，而 $P(X=1)$ 負責描述其中某一個結果發生的機率（P 就是 Probability 的縮寫）。之後所有的公式都是建立在這兩個符號上，先把它們讀順，後面會輕鬆很多。

3 三種基本的機率類型

有了隨機變數和 $P(...)$ 的寫法之後，接著看三種最基本的機率類型：邊際機率 (Marginal Probability)、聯合機率 (Joint Probability) 與條件機率 (Conditional Probability)。

下面三種都用同一副撲克牌來舉例，這樣比較容易看出差別。一副撲克牌有 52 張，其中數字 6 有 4 張、紅色牌有 26 張。

• Marginal Probability（邊際機率） 描述「某一個」事件單獨發生的機率。A 是一個事件，則 $P(A)$ 就是 Marginal Probability。以撲克牌來說，假設 A =「從一副撲克牌中抽出一張 6」，則 $P(A) = 4/52$（52 張牌裡有 4 張 6）。

• Joint Probability（聯合機率） 描述「兩個或多個」事件同時發生的機率。A 與 B 是兩個不同的事件，兩者同時發生的機率寫成 $P(A \cap B)$。「∩」符號叫做「交集」，白話一點就是「兩個條件都要成立」。以撲克牌來說，假設 A =「抽出一張 6」且 B =「抽出一張紅色的牌」，則 $P(A \cap B) = 2/52$（52 張牌裡，同時是 6 又是紅色的只有 2 張）。

• Conditional Probability（條件機率） 描述在某一個事件已經發生的「前提」之下，另一個事件發生的機率，寫成 $P(A \mid B)$，唸作「在 B 發生的前提下 A 發生的機率」。以撲克牌來說，B =「抽出紅色的牌」、A =「抽出數字 4 的牌」，則 $P(A \mid B) = 2/26$。關鍵在於分母變了：既然已經確定抽到的是紅色牌，考慮範圍就從 52 張縮小到 26 張紅色牌，而這 26 張裡面數字 4 有 2 張。

三者的差別可以這樣記：Marginal 只看一個事件，Joint 要求多個事件同時成立，Conditional 則是先把範圍限縮到某個已知條件之內，再看事件發生的機率。

4 把三種機率串起來：乘法法則

三種機率各自看完之後，接著看它們之間的關係，也就是機率裡的乘法法則 (Multiplication Rule)。

乘法法則的價值就在於它把前面三種機率類型整合進同一條式子裡。用文氏圖 (Venn diagram) 來看會更直覺。

$P(B)$ 是 B 事件發生的機率，對應圖中的 B 圓圈；$P(A)$ 是 A 事件發生的機率，對應圖中的 A 圓圈。$P(A \cap B)$ 則是 A 與 B 同時發生的機率，對應兩個圓圈重疊的那一塊。

所以，在 B 已經發生的前提下 A 發生的機率 $P(A \mid B)$，就是「A 與 B 同時發生的機率 $P(A \cap B)$」除以「B 發生的機率 $P(B)$」。直覺上就是：已知 B 發生，等於把整個世界縮小成 B 這個圓圈，這時候 A 還能發生的部分只剩下重疊區域，所以拿重疊區域去除以 B 圓圈。

用剛才的撲克牌例子驗算一次會更有感覺。A =「抽出數字 4」、B =「抽出紅色的牌」，$P(A \cap B) = 2/52$、$P(B) = 26/52$，相除之後得到 $(2/52) \div (26/52) = 2/26$，和前面直接數紅色牌算出來的答案一致。

5 結論

這篇文章從機率 (Probability)、事件 (Event) 與隨機變數 (Random Variable) 這幾個最基礎的概念談起，接著介紹三種基本的機率類型：

• Marginal Probability：單一事件發生的機率
• Joint Probability：多個事件同時發生的機率
• Conditional Probability：在某個前提之下，另一個事件發生的機率

最後用乘法法則把三者接了起來：

下一篇「條件機率 vs 聯合機率」會補上其他基本觀念，更詳細地說明 Joint Probability 與 Conditional Probability 的差別，以及機率中 AND 與 OR 的概念。