# 零基礎機率入門：搞懂 Marginal、Joint 與 Conditional Probability 的差異 ## 前言 {{< image src="featured-image.jpg" alt="機率基本觀念：Joint、Marginal 與 Conditional 文章題圖" caption="機率基本觀念：Joint、Marginal 與 Conditional 文章題圖 [source: Pixabay]" >}} 機率 (Probability) 是[機器學習](../what-is-machine-learning/)的地基。不管是 Naive Bayes、語言模型算下一個 token 的分佈，還是評估模型輸出的信心水準，背後都是同一套機率語言。地基沒打好，後面看到公式只能死背。 問題是，網路上大多數的機率教學都預設你已經有一些先備知識，開場就是一串符號，初學者常常第一段就卡住。這篇文章假設你完全沒有機率背景，從最基本的「表示法」(Notation) 開始，再帶到三種最常見的機率類型：Marginal、Joint 與 Conditional，最後用乘法法則把三者串起來。 ## 機率的表示法 (Notation) 機率的概念一定伴隨著某一個「事件」。這裡的**事件** (Event) 沒有那麼玄，就只是在描述某一件「事情」。像是「今天的天氣是雨天」、「擲一顆骰子得到點數 3」、「從球袋中抽出一顆紅球」，這些都是事件。 我們用機率來描述某個事件發生的可能性有多大。以上面的例子來說，我們會說「『今天的天氣是雨天』的機率是 50%」、「『擲一顆骰子得到點數 3』的機率是 1/6」、「『從球袋中抽出一顆紅球』的機率是 30%」。 一個事件的結果通常不只一種，而且每一種結果都有可能發生。我們之所以需要用機率去描述，正是因為事先不知道哪一個結果會出現，這件事本身帶有隨機性。所以在數學上，用來描述事件所有可能結果的那個變數，就叫做**隨機變數** (Random Variable)。 拿擲骰子當例子。骰子的結果可能是 1、2、3、4、5、6 其中一個，但擲之前沒人知道會是哪一個。在數學上，我們定義一個隨機變數 \( X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) 來表示擲骰子的所有可能結果。 同一件事，用「言語」講是這樣： - 擲骰子的結果為 1、2、3、4、5、6 其中之一 - 擲骰子的結果為 1 的機率 用「數學」寫是這樣： - \( X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) - \( P(X=1) \) 對照之後就很清楚了：隨機變數 \( X \) 負責描述一個事件的所有可能結果，而 \( P(X=1) \) 負責描述其中某一個結果發生的機率（P 就是 Probability 的縮寫）。之後所有的公式都是建立在這兩個符號上，先把它們讀順，後面會輕鬆很多。 ## 三種基本的機率類型 有了隨機變數和 \( P(...) \) 的寫法之後，接著看三種最基本的機率類型：邊際機率 (Marginal Probability)、聯合機率 (Joint Probability) 與條件機率 (Conditional Probability)。 下面三種都用同一副撲克牌來舉例，這樣比較容易看出差別。一副撲克牌有 52 張，其中數字 6 有 4 張、紅色牌有 26 張。 - **Marginal Probability（邊際機率）** 描述「某一個」事件單獨發生的機率。A 是一個事件，則 \( P(A) \) 就是 Marginal Probability。以撲克牌來說，假設 A =「從一副[撲克牌](https://www.wikiwand.com/zh-tw/articles/%E6%89%91%E5%85%8B%E7%89%8C)中抽出一張 6」，則 \( P(A) = 4/52 \)（52 張牌裡有 4 張 6）。 - **Joint Probability（聯合機率）** 描述「兩個或多個」事件同時發生的機率。A 與 B 是兩個不同的事件，兩者同時發生的機率寫成 \( P(A \cap B) \)。「∩」符號叫做「交集」，白話一點就是「兩個條件都要成立」。以撲克牌來說，假設 A =「抽出一張 6」且 B =「抽出一張紅色的牌」，則 \( P(A \cap B) = 2/52 \)（52 張牌裡，同時是 6 又是紅色的只有 2 張）。 - **Conditional Probability（條件機率）** 描述在某一個事件已經發生的「前提」之下，另一個事件發生的機率，寫成 \( P(A \mid B) \)，唸作「在 B 發生的前提下 A 發生的機率」。以撲克牌來說，B =「抽出紅色的牌」、A =「抽出數字 4 的牌」，則 \( P(A \mid B) = 2/26 \)。關鍵在於分母變了：既然已經確定抽到的是紅色牌，考慮範圍就從 52 張縮小到 26 張紅色牌，而這 26 張裡面數字 4 有 2 張。 三者的差別可以這樣記：Marginal 只看一個事件，Joint 要求多個事件同時成立，Conditional 則是先把範圍限縮到某個已知條件之內，再看事件發生的機率。 ## 把三種機率串起來：乘法法則 三種機率各自看完之後，接著看它們之間的關係，也就是機率裡的乘法法則 (Multiplication Rule)。 {{< image src="multiplication-rule.jpg" alt="乘法法則的數學公式，說明條件機率、聯合機率與邊際機率三者之間的關係。" caption="機率中的乘法法則" >}} 乘法法則的價值就在於它把前面三種機率類型整合進同一條式子裡。用文氏圖 (Venn diagram) 來看會更直覺。 {{< image src="venn-diagram.jpg" alt="以兩個部分重疊的圓圈組成的文氏圖，分別代表事件 A 與事件 B，重疊區域代表兩者同時發生。" caption="透過文氏圖了解乘法法則" >}} \( P(B) \) 是 B 事件發生的機率，對應圖中的 B 圓圈；\( P(A) \) 是 A 事件發生的機率，對應圖中的 A 圓圈。\( P(A \cap B) \) 則是 A 與 B 同時發生的機率，對應兩個圓圈重疊的那一塊。 所以，在 B 已經發生的前提下 A 發生的機率 \( P(A \mid B) \)，就是「A 與 B 同時發生的機率 \( P(A \cap B) \)」除以「B 發生的機率 \( P(B) \)」。直覺上就是：已知 B 發生，等於把整個世界縮小成 B 這個圓圈，這時候 A 還能發生的部分只剩下重疊區域，所以拿重疊區域去除以 B 圓圈。 用剛才的撲克牌例子驗算一次會更有感覺。A =「抽出數字 4」、B =「抽出紅色的牌」，\( P(A \cap B) = 2/52 \)、\( P(B) = 26/52 \)，相除之後得到 \( (2/52) \div (26/52) = 2/26 \)，和前面直接數紅色牌算出來的答案一致。 ## 結論 這篇文章從機率 (Probability)、事件 (Event) 與隨機變數 (Random Variable) 這幾個最基礎的概念談起，接著介紹三種基本的機率類型： - Marginal Probability：單一事件發生的機率 - Joint Probability：多個事件同時發生的機率 - Conditional Probability：在某個前提之下，另一個事件發生的機率 最後用乘法法則把三者接了起來： \[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] 下一篇[「條件機率 vs 聯合機率」](../conditional-vs-joint-probability/)會補上其他基本觀念，更詳細地說明 Joint Probability 與 Conditional Probability 的差別，以及機率中 AND 與 OR 的概念。